Integrales Impropias
Publicado por Profesor - 16/05/08 a las 11:05:09 amVamos a ver hoy las Integrales Impropias
Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:
1. Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito.
2. Que la función no este acotada en
, o sea que la función f presente una discontinuidad infinita en.
“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”
Caso 1: integrales impropias con intervalos de integración infinitos
Definiciones:
a) 
:
Sea f una función continua en 
con 
y “a” fijo, o sea, existe 
y si existe
entonces 
 |
b) 
:
Sea f una función continua en 
con 
y “b” fijo, o sea, existe 
y si
existe
entonces 
 |
Nota: en los casos a), b) si el limite existe, decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del
limite.
Si no existe el limite, decimos que la integral impropia es divergente(y no tiene valor).
c) 
:
Sea f continua 
con “c” cualquier número real y si 
y 
son
convergentes entonces:
=
+
Si una de las dos integrales es divergente 
Diverge
 |
En general c=0 , para facilitar el cálculo.
Caso 2: integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en
Casos:
a)
; 
 |
|||
 |
|||
b)
; 
 |
c)
; 
 |
Definición:
a) Si f es una función continua 
y si entonces
, siempre que este limite exista.
b) Si f es una función continua 
y si entonces
, siempre que este limite exista.
Nota : en los casos a),b) si el limite existe decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del
limite. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.
c) Sea f una función continua
y tal que y si existen
y 
Nota: si una de las dos integrales impropias es divergente es divergente.
Observaciones:
1) Si nos dan una integral que responda al primer caso, aseguramos que es impropia porque en ella el
intervalo de integración es infinito.
2) Si nos dan una integral del segundo caso , o sea de la forma , primero debemos decidir si es
una integral definida o impropia, para ello analizo el comportamiento de la función f en el intervalo
, o sea,
i) Si el 
cuando 
ó 
ó 
con 
, en cualquiera de estos casos
la integral dada es impropia.
ii) No toda función que presente una discontinudad en un punto es impropia ya que dicha discontinudad debe
ser infinita.
3) Se pueden combinar en una misma integral impropia los dos casos vistos.
Teorema de comparación para integrales impropias
 |
Si f y g son continuas con 
y si :
i) Si 
converge 
converge.
ii) Si diverge diverge.
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