Funciones implícitas

En una correspondencia o también una función si está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación la cual tiene de dos incógnitas cuyo segundo miembro es el cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para poder  hallar la derivada correcta en forma implícita no es necesario despejar y. Así que basta el derivar miembro a miembro paso por paso, utilizando así todas las reglas vistas hasta ahora en derivadas.es  y teniendo presente lo siguiente:

x’=1.

En general y’≠1.

Por lo cual omitiremos x’ y dejaremos y’.

Y luego cuando las funciones son ya más complejas podemos utilizar una regla para facilitar el cálculo de la función:

Muy pronto pondremos ejercicios sobre este tema, permaneces atentos en derivadas.es

Tenéis que obtener la solución a este  problema de valores iniciales y de contorno:

Solución al problema propuesto

Una de la solución de la ecuación homogénea será:

Ahora para obtener una solución particular de la completa ensayamos:

y si así se ha de cumplir:

entonces para K₁ tenemos:

Análogamente, para K₂ :

y por eso la solución general será:

Entonces ahora para encontrar la solución particular que verifique las condiciones iniciales y de contorno dadas, tendremos que hacer lo siguiente:

Derivando esta expresión respecto a x:

por otra parte:

Sumando y restando las dos expresiones anteriores, resulta:

y finalmente la solución es esta :

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

La definición no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas “hacia afuera”, es decir hacia el resto de las áreas. Y en menor grado “hacia dentro” o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras.

Las matemáticas aplicadas es usada frecuentemente en distintas áreas tecnológicas para modelado, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como el túnel de viento.

Áreas de las matemáticas con frecuentes aplicaciones:

  * Cálculo.
* Álgebra lineal.
* Teoría de probabilidad.
* Estadística matemática.
* Investigación de Operaciones.
* Ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales). Ecuación diferencial
* Análisis complejo / Variable compleja.
* Análisis de Fourier.
* Sistemas dinámicos.
* Teoría de control.
* Optimización.
* Matemáticas discretas.
* Análisis funcional.
* Cálculo de variaciones.
* Proceso estocástico.

Y muchas otras. Se incluyen como parte central las matemáticas aplicadas el análisis numérico y la computación científica.

Al respecto, hemos de comentarles que un equipo de investigadores españoles y franceses lograron aplicar modelos matemáticos para avanzar en el estudio de avalanchas submarinas, es decir la etapa previa a un tsunami.

Uno de los investigadores del proyecto es el matemático español Enrique Domingo Fernández Nieto, perteneciente al departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla, y comentó que lograron aplicar un modelo matemático  que estudia la capa de agua y la roca .

Según explica el profesor, el modelo matemático fue probado para determinar su eficacia, teniendo en cuenta el tsunami que afectó Papúa nueva Guinea en el año 1998.

Sin duda que es una importante avance e materia de prevención, y nos deja en claro una vez más que las matemáticas están presentes en cada uno de los eventos de la naturaleza.