La lógica matemática estudia todos los buenos sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.

La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel tremendamente fundamental en el estudio de los fundamentos de matemáticas en toda la historia.

La lógica en matemáticas fue también llamada lógica además simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.

La lógica matemática no es la “lógica de las matemáticas” sino la “matemática de la lógica”. Incluye siempre aquellas partes de la lógica que también pueden ser altamente modeladas y estudiadas matemáticamente.

Por ello en el estudio de las derivadas y sus aplicaciones la lógica matemática juega un papel muy importante en este tema

Funciones implícitas

En una correspondencia o también una función si está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación la cual tiene de dos incógnitas cuyo segundo miembro es el cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para poder  hallar la derivada correcta en forma implícita no es necesario despejar y. Así que basta el derivar miembro a miembro paso por paso, utilizando así todas las reglas vistas hasta ahora en derivadas.es  y teniendo presente lo siguiente:

x’=1.

En general y’≠1.

Por lo cual omitiremos x’ y dejaremos y’.

Y luego cuando las funciones son ya más complejas podemos utilizar una regla para facilitar el cálculo de la función:

Muy pronto pondremos ejercicios sobre este tema, permaneces atentos en derivadas.es

En esta página, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender a manejar el cálculo integral, que se explicará más adelante en esta misma página.

La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales

La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:

Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:

Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:

Esta es la definición de derivadas

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En esta página, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

Fuente:

definición de derivadas

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Limitaciones

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, P es verdadero.

La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Por definición la derivada de una función f(x) es:

Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:

Diferencias hacia atrás:

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:

Los puntos angulosos son los únicos puntos en donde una función es continua, pero no puede trazarse una recta tangente a la función en dicho punto.

Los números hiperreales o reales no estándar, son una extensión de los números reales , en dónde se añaden números infinitamente grandes así como números infinitesimales.

El estudio de estos números, sus funciones y propiedades se llama análisis no estándar el cual, para muchos, es más intuitivo que el análisis real estándar.

Cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron los diferenciales, ellos estaban usando infinitesimales y estos también fueron usados por Leonhard Euler y Augustin Louis Cauchy.

Sin embargo, estos conceptos, desde el principio, no fueron muy bien vistos. Hasta la definición del límite con ‘epsilon’ y ‘delta’ por Cauchy y Weierstrass no fueron tomados en serio.

El análisis no estándar fue desarrollado hace unos escasos 30 años.

El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infintesimales. Estos números, llamados hiperreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero eso sí, de un modo totalmente intuitivo. Se siguió empleándolos hasta bien entrado el siglo dieciocho, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que hizo inútil los infinitesimales. El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.

Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados números infinitos (grandes o pequeños).

La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.

Porque no era el método adecuado.

La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción.

Concretamente, se inventó un nuevo predicato unario: “estándar” y de ahí se presenta dos casos: un número x es estándar o no lo es.

Luego se impusó tres condiciones a este predicato (llamadas transferencia, idealización y estandarización) para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estandares con las propiedades adecuadas, dignas de infinitesimales e infinitos. Toda una hazaña.

Veámoslo más en detalle:

Una propiedad o proposición es estándar si es clásica es decir que no requiere la palabra estándar o una de sus derivadas para definirse. Puede parecer paradójico, mas no lo es.

La propiedad de transferencia es la siguiente:

• Si para cualquier x estándar, P(x) es cierto (P es una proposición estándar) entonces P(x) es cierto para cualquier x (sea o no estándar):

Sabemos que P(x) es siempre cierta en los reales usuales. P es además una proposición clásica (estándar). en consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.

La propiedad de idealización es la siguiente: (con P una proposición estándar)

• Si para todo x estándar existe un y tal que P(x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x estándar, P(x, y) sea cierta:

Por ejemplo, tomemos el P anterior: P(x, y) significa: x>0 y 0<y<x. Sabemos que para cualquier x>o estándar, existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x>0 estándar. En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por definición un infinitesimal.

De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales infinitos o los cardinales infinitos).

La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés aquí.

Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad en el punto x:

• Expresión clásica:

• Expresión en análisis no estándar:

En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir, bajar la complejidad de las fórmulas.

Fuente:wikipedia