INTEGRALES MULTIPLES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R:    a<x<b,  c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área ∆A_1, ∆A₂…, ∆A_n, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento ∆Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender  ∆x, ∆y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R, siempre que las normas de las subdivisiones tiendan ambas a cero. El límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas ∆Ak e independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada ∆Ak. Los valores de las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite para una función continua f se da en textos más avanzados.

La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

1.

2.

3.

4.

5.

Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) ∆Ak en la suma Sn = ∆Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base ∆Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

 en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?

¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

EJEMPLO. Calcule

Solución. Por el teorema de Fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO RECTANGULARES.

Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área ∆A = ∆x∆y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada ∆Ak y formamos la suma

La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares es que ahora las áreas ∆Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida. Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble de f sobre R.

Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.

Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares. La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces

.

Si R es una región limitada “arriba” y “abajo” por las curvas y=g2(x)  y y=g1(x) y lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal

Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral iterada:

          (8)

De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está dado por la integral iterada

EJEMPLO.  Encuentre el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy limitado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior se encuentra en el plano

z=f(x, y)=3-x-y.

Solución. Para cualquier x entre 0 y 1, y puede variar de y=0 a y=x. Por consiguiente.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES.

Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones ∆xk por ∆yk por ∆zk y volumen ∆x∆xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando ∆xk, ∆yk, ∆zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces

1.

2.   

3.    

4.   

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

5.  

EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0).

Solución.

Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x.

La frontera inferior es la recta z=0.

Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x, y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1.

Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.

Paso 4: Los límites x de integración. Conforme L barre a través de R, es el valor de x varía de x=0 a x=1. La integral es

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.

COORDENADAS CILINDRICAS.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4                 Cilindro, radio 4, eje el eje z

=               Plano que contiene al eje z

z= 2                   Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es              

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO.  Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, , z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0, lateralmente por el cilindro circular  y arriba por el paraboloide

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo  Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en  

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a          R en r =0 y sale en

Paso 4: Los límites  de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo  que forma con el eje x positivo varía de  La integral es

COORDENADAS ESFERICAS.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

       Esfera, radio 4, centro en el rigen.

      Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.

      Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que forma un ángulo de  radianes

                  con el eje x positivo.

El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica definida por los diferenciales  La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de longitud  en un lado y un arco circular de longitud  y espesor de  en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadas esféricas es

Y las integrales triples adoptan la forma

EJEMPLO. Encuentre el volumen de la región superior D cortada de la esfera sólida por el cono

Solución El volumen es , que es la integral, de

Paso 1: Hacemos un croquis de D y su proyección R sobre el plano xy.

Paso 2: Los límites  de integración. Dibujamos un rayo M desde el origen que forme un ángulo  con el eje z positivo. También dibujamos L, o sea la proyección de M sobre el plano xy, junto con el ángulo , que L forma con el eje x positivo. El rayo M entra a D en =0 y sale en  =1.

Paso 3: Los limites  de integración. El cono  forma un ángulo de  con el eje z positivo. Para cualquier , el ángulo  varía entre  =0 y =.

Paso 4: Los límites  de integración. El rayo L barre sobre R cuando  varía de 0 a .

El volumen es 

INTEGRALES DE LINEA.

Cuando una curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, , pasa por el dominio de una función     f(x, y, z) en el espacio, los valores de f a lo largo de la curva están dados por la función compuesta f(g(t), h(t), k(t)). Si integramos esta composición respecto a la longitud de arco de

t = a a t = b, calculamos la así llamada integral de línea de f  a lo largo e la curva. A pesar de la geometría tridimensional, la integral de línea es una integral ordinaria de una función real sobre un intervalo de números reales.

Definición y notación.

Supongamos que f(x, y, z) es una función cuyo dominio contiene la curva                                    r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, . Subdividimos está última en un número finito de subarcos.  El subarco típico tiene longitud ∆sk. En cada subarco escogemos un punto (xk, yk, zk) y formamos la suma

                                                                (1)

Si f es continua y las funciones g, h y k tienen primeras derivadas continuas, entonces las sumas en (1) tienden a un límite cuando n cree y las longitudes ∆sk tienden a cero. Llamamos a este límite la integral de f sobre la curva de a a b. Si la curva se representa por una sola letra, C por ejemplo, la notación para la integral es

       (2)

Evaluación de curvas suaves.

Si r (t) es suave para (v=dr/dt es continua  y nunca (0), podemos usar la ecuación

Para expresar ds en la ecuación (2) como ds =. Un teorema del cálculo avanzado dice que entonces podemos evaluar la integral de f sobre C como

Esta fórmula evaluará correctamente la integral sin importar qué parametrización usemos (siempre y cuando sea suave).

Como evaluar una integral de línea.

Para integrar una función continua f(x, y, z) sobre una curva C:

1. Encuentre una parametrización suave C,

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,            

2. Evalúe la integral como

           (3)

Note que si f tiene el valor constante 1, entonces la integral de f sobre C da la longitud de C.

Ejemplo. Integre  sobre el segmento de recta C que une el origen y el punto (1, 1, 1).

Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar:

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,                       

Las componentes tienen primeras derivadas continuas y  nunca es 0, por lo que la parametrización es suave. La integral de f sobre C es

Aditividad.

Las integrales de línea tienen la útil propiedad de que si una curva C se forma por la unión de un número finito de curvas C₁, C₂,…., Cn extremo con extremo, entonces la integral de una función sobre C es la suma de las integrales sobre las curvas que la forman:

                           (4)

Ejemplo. Una trayectoria del origen a (1, 1, 1) que es la unión de los segmentos de las rectas C₁ y  C₂. Integres  sobre C₁ y C₂.

Solución.  Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar para C₁ y C₂, y revisamos las longitudes de los vectores velocidad:

C1:  r (t) = ti +tj,       ; 

C2:  r (t) = i+ j+ tk,   ; 

Con esa parametrización encontramos que

Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:

1.     Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito.

2.     Que la función no este acotada en, o sea que la función  f  presente una discontinuidad infinita en.

“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”

Caso 1: integrales impropias con intervalos de integración infinitos

Definiciones:

a)    :

                              Sea  f una función continua en con y  “a” fijo, o sea, existe y si existe

                               entonces 

b)    :

                              Sea  f una función continua en con  y  “b” fijo, o sea, existe y si

                              existe    entonces   

Nota: en los casos a), b) si el limite existe, decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

           limite.

           Si no existe el limite, decimos que la integral impropia es divergente(y no tiene valor).

c)    :

                               Sea  f continua  con “c” cualquier número real y si   y   son

                              convergentes entonces:

                              = +           

         Si una de las dos integrales es divergente    Diverge

   En general c=0 , para facilitar el cálculo.

Caso 2: integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en  

Casos:

a)

                                                                                               ;        

b)     

                                                                                                      ;      

c)     

                                                                                                          ;      

Definición:

a)   Si  f  es una función continua  y si    entonces

      , siempre que este limite exista.

b)   Si  f  es una función continua  y si    entonces

        , siempre que este limite exista.

Nota : en los casos a),b) si el limite existe decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del

            limite. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.

c)   Sea  f   una función continua y tal que   y  si existen

      y            

Nota:  si una de las dos integrales impropias es divergente    es divergente.

Observaciones:

1)       Si nos dan una integral que responda al primer caso, aseguramos que es impropia porque en ella el

       intervalo de integración es infinito.

2)       Si nos dan una integral del segundo caso , o sea de la forma , primero debemos decidir si es

       una integral definida o impropia, para ello analizo el comportamiento de la función  f  en el intervalo

       , o sea,

      i)  Si el   cuando   ó   ó   con  , en cualquiera de estos casos

          la integral dada es impropia.

  ii)   No toda función que presente una discontinudad en un punto es impropia ya que dicha discontinudad debe

        ser infinita.

3)       Se pueden combinar en una misma integral impropia los dos casos vistos.

Teorema de comparación para integrales impropias

Si  f   y  g  son continuas  con   y si :

i)   Si     converge          converge.

ii)  Si    diverge            diverge.

Tabla de Derivadas e Integrales

Función	Derivada	Integral
y = c	y’ = 0	c.x
y = c.x	y’ = c	c.x2/2
y = xn	y’ = n.xn-1	xn+1/n+1
y = x-n	y’ = -1/(n.xn-1)	x-n+1/-n+1
y = x½	y’ = 1/(2.x½)	2.x3/2/3
y = xa/b	y’ = a.x(a/b)-1/b	x(a/b)+1/[(a/b)+1]
y = 1/x	y’ = -1/x2	ln x
y = sen x	y’ = cos x	-cos x
y = cos x	y’ = -sen x	sen x
y = tg x	y’ = 1/cos2x	-ln cos x
y = cotg x	y’ = -1/sen2x	ln sen x
y = sec x	y’ = sen x/cos2x	ln (tg ½.x)
y = cosec x	y’ = -cos x/sen2x	ln [cos x/(1 - sen x)]
y = arcsen x	y’ = 1/(1 – x2)½	x.arcsen x + (1 – x2)½
y = arccos x	y’ = -1/(1 – x2)½	x.arccos x – (1 – x2)½
y = arctg x	y’ = 1/(1 + x2)	x.arctg x – ½ln (1 + x2)
y = arccotg x	y’ = -1/(1 + x2)	x.arccotg x + ½ln (1 + x2)
y = arcsec x	y’ = 1/[x.(x2 -1)½]	1
y = arccosec x	y’ = -1/[x.(x2 – 1)½]	2
y = senh x	y’ = cosh x	cosh x
y = cosh x	y’ = senh x	senh x
y = tgh x	y’ = sech2x	ln cosh x
y = cotgh x	y’ = -cosech2x	ln senh x
y = sech x	y’ = -sech x.tgh x	3
y = cosech x	y’ = -cosech x.cotgh x	4
y = ln x	y’ = 1/x	x.(ln x – 1)
y = logax	y’ = 1/x.ln a	x.( logax – 1/ln a)
y = ex	y’ = ex	ex
y = ax	y’ = ax.ln a	ax/ln a
y = xx	y’ = xx.(ln x + 1)	5
y = eu	y’ = eu.u’	6
y = u.v	y’ = u’.v + v’.u	òu.dv + òv.du
y = u/v	y’ = (u’.v – v’.u)/v2	7
y = uv	y’ = uv.(v’.lnu + v.u’/u)	8
y = lnuv	y’ = (v’.u.lnu – u’.v.lnv)/v.u.ln2u	9

Derivación numérica

El operador de la derivada, tiene la siguiente sintaxis:

• diff(x): x es un vector (x1, x2, . . . , xn), entonces esta orden crea o vector de n − 1 coordenadas

(x2 − x1, x3 − x2, . . . , xn − xn−1). Si x es una matriz, el operador de diferencias se aplica a cada vector columna.

Si se conocen los valores y1, y2, . . . , yn de una función y = f(x) los puntos x1, x2, . . . , xn, entonces se puede obtener una aproximación “grosera” de los valores de la derivada de f de los puntos x1, x2, . . . , xn−1 mediante un cociente de diferencias:

f0(xi) = yi+1 − yi

xi+1 − xi

, i = 1, 2, . . . , n − 1.

Utilizando la orden diff, se obtiene mediante:

diff(y)./diff(x)

donde x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn).

Ejemplo. De una función y = f(x) conociéndose la tabla de valores:

x 0 1 2 3 4 5

y 1.5 0.8 1.7 4.7 7.2 15

Calcular numéricamente la derivada de la función f con los puntos especificados, utilizando la orden diff(f).

Solución:

clear, clc

x=0:5; y=[1.5 0.8 1.7 4.7 7.2 15];

der=diff(y)/diff(x)

Integración numérica

Matlab dispone de las órdenes trapz, quad e quad8 para el cálculo de integrales de funciones de una variable.

• trapz(x , y): Calcula la integral de f(x)dx que va desde a hasta b, donde x = (a = x1, x2, . . . , xn = b) es un vector dado e

y = (f(x0), f(x1), . . . , f(xn)). También puede ser x un vector columna e y una matriz con tantas

filas como x, dando como resultado un vector fila.

• trapz(y): No es lo mismo que el caso anterior pero a separación de los nodos del vector es unitaria.

• quad(’funci´on’,a,b): Calcula la integral de la función especificada, entre a e b, utilizando una

regla de Simpson adaptativa. El argumento función debe ser una función predefinida en

Matlab o definida en un fichero .m de función.

• quad8(’funci´on’,a,b): es lo mismo que la orden anterior pero calcula a integral con un algoritmo

basándose en una formula de Newton-Cotes de orden ocho.

Ejemplo. Calcula a integral

3

1

x3 + 1

lnx + senx

dx

utilizando las ordenes trapz, quad e quad8.

Solución:

En primer lugar, creamos a fichero ff.m donde se define la función subintegral:

función y=ff(x)

y =(x.3+1)./(Log(x)+sin(x));

 despues escribimos:

quad(’ff’,1,3)

quad8(’ff’,1,3)

x=1:.1:3; y=ff(x);

trapz(x,y)