Teoría de números

numeritos.jpgLa teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por “no matemáticos”. De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:

La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.

El término “aritmética” también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética, aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
Campos

Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.
Teoría elemental de números
En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de Fibonacci.
Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes: Seguir leyendo Teoría de números…

Tabla de derivadas

Para todos aquellos que nos habéis pedido las tablas de derivadas, va dirigido este post.
A continuación, podréis encontrar funciones potenciales, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, y más….
Para ver el cuadro en tamaño completo hacer click sobre el mismo.

funciones1.jpg

Representación gráfica online de funciones matemáticas

Si estáis buscando la forma más sencilla de obtener una representación gráfica de las distintas funciones matemáticas; este es el lugar indicado para conseguirla.

Con ésta herramienta matemática online, podréis representar gráficamente, de manera muy sencilla cualquier función.

Simplemente debéis ingresar los datos necesarios, y el programa lo hace todo; y el resultado: el gráfico solicitado.

Por ejemplo, para realizar cálculos de límites online
funcion-1.jpg

Para realizar cálculo de una derivada online

funcion-2.jpg

Mientras que, si lo que estáis buscando es crear un gráfico 3D onlinegrafico.jpg

Regla de la Cadena

La regla de la cadena no es más que una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.

Sus aplicaciones son variadas, pero la principal es en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Aprendamos un poco más con el siguiente vídeo explicativo.

Condición no recíproca en la continuidad de una función

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto (0,0) .

Dicha función es equivalente a la función partida

\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan

\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x> 0 \\ -1, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Cuando x \, vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable

Lista de derivadas de funciones elementales

f\left(x\right) = a f'\left(x\right) = 0
f\left(x\right) = x f'\left(x\right) = 1
f\left(x\right) = ax f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = ax + b f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = x^n f'\left(x\right) = nx^{n-1}
f\left(x\right) = \sqrt{x} f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f\left(x\right) = e^x f'\left(x\right) = e^x
f\left(x\right) = \ln(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x}
f\left(x\right) = a^x (a >0) f'\left(x\right) = a^x \ln(a)
f\left(x\right) = \log_{b}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x\ln(b)}
f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n} f'\left(x\right) = -nx^{-n-1} = -nx^{-(n+1)} = \frac{-n}{x^{n+1}}
f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x) f'\left(x\right) = \cos(x)
f\left(x\right) = \cos(x) f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)
f\left(x\right) = \tan(x) f'\left(x\right)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
f\left(x\right) = \csc(x) f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)
f\left(x\right) = \sec(x) f'\left(x\right) = \sec(x)\tan(x)
f\left(x\right) = \cot(x) f'\left(x\right) = -\csc^2(x)
f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arccos(x) f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arctan(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}
f\left(x\right) = g(x) \pm h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)
f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)} f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}
f\left(x\right) = k \cdot g(x) f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)
f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x)) f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x)

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

 El orto día un amigo de derivadas.es nos pidió un poco de probabilidad, vamos con ello:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE CONTINUA

 

Ø  Variable aleatoria continua

Es aquella que puede asumir cualquier valor en un intervalo específico; significa entonces que entre cualquiera de dos valores que puede tomar la V. A. continua, existe un número infinito de valores.

 

Ø  Naturaleza de la distribución de una variable continua

 

Consideremos la representación gráfica del histograma polígono de frecuencias de una muestra de tamaño n. Qué sucede cuando aumentamos el tamaño de la muestra (n), es decir cuando el número de valores de la V. A. continua es muy grande, con:

 

  • el número de intervalos de clase (K)?
  • la amplitud (Δ) de los intervalos de clase??

Cuadro de texto:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consecuencias:

 

  • El polígono de frecuencias se aproxima a una curva suave que sirve para representar gráficamente las distribuciones de probabilidad de una V. A. continua.
  • El área total bajo la curva es igual a 1 y, es equivalente al área bajo el histograma.
  • La frecuencia relativa (probabilidad para n ® µ) de ocurrencia para los valores entre dos puntos específicos del eje de las x, es igual área total delimitada por la curva, el eje de las abcisas y las rectas perpendiculares levantadas sobre ambos puntos.
  • La probabilidad de cualquier valor específico de la variable es cero, por lo que sólo podremos hablar de probabilidad dentro de intervalos.
  • El cálculo de probabilidad se basa en el cálculo integral del área bajo la curva entre dos puntos cualesquiera del eje de abcisas, generándose la función de densidad de probabilidad.

 

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

 

·    Para variables aleatorias continuas, la distribución teórica o FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (FDP)  puede representarse por una curva continua.

·    Por DENSIDAD entendemos la concentración de probabilidad dentro de un intervalo de valores de la variable x.

·    Esta PROBABILIDAD puede ser interpretada como un AREA (integral) bajo la curva f(x), llamada CURVA DE DENSIDAD, limitada por las ordenadas en dos puntos de un intervalo.

 

Entonces

Una función  y = f(x)  es una función de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones:

·         Es positiva en todo su dominio (0£ f( x) £1)

    • El calculo directo de la porción de área bajo la curva requiere la integración de la función de densidad que es especifica para cada modelo:

 

P (a £ X £ b) =

 

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA (FDA)

En general, la función de distribución acumulada (FDA) de una variable aleatoria continua X, es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X.

La probabilidad de que una variable aleatoria continua X, asuma un valor menor o igual a xi, se llama FDA y se representa por:

                    

F (x) = P (X ≤ xi)

 

·         Para a < b :    P (a ≤ x ≤ b) = F (b) – F (a)

 

·         F (-∞) = P (x  ≤ -∞) = 0

 

·         F (+∞) = P (x  ≤ +∞) =1

 

 

 

 

Función de densidad de probabilidad (fx)

 

               

Función de distribución acumulada (FDA)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

 

PROPIEDADES

 

  1. Una distribución normal es simétrica y tiene forma de campana, con parámetros μ  y σ.
  2. La media μ, divide al área en dos mitades, pues se localiza en el centro, coincidiendo con el modo y la mediana.
  3. El área por debajo de la curva y sobre el eje de las x es la unidad en términos de probabilidad.
  4. En teoría la distribución se extiende desde -∞ a +∞ a lo largo del eje de las abscisas. Esto significa que una variable X ~ N (μ, σ), puede tomar cualquier valor, ya sea grande o pequeño, aunque los valores alejados de μ ± 3σ, son poco probables.
  5. Un cambio en el valor de μ desplaza la distribución a la derecha o a la izquierda. Un cambio en el valor de σ altera su forma, sin moverla de izquierda a derecha.

 

 

 

6.-

  m ± 1 s   la curva  representa el 68% del área total.

  m ± 2s   la curva  representa el 95% del área total.

  m ± 3 s   la curva  representa el 99,7% del área total.

 

 

 

 

 

 

 

7.-La función de probabilidad normal esta representada por:

 

 

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

·         Una distribución de una variable aleatoria normal con media, m = 0  y varianza, s = 1, se llama distribución normal estándar y es el miembro más importante de la familia de distribuciones normales.

 

·         Esta distribución se obtiene creando una variable aleatoria Z

 

 

Cada valor z es el número de desviaciones estándar separado de la media.

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