Condición no recíproca en la continuidad de una función

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto (0,0) .

Dicha función es equivalente a la función partida

\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan

\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x> 0 \\ -1, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.

Cuando x \, vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable

Lista de derivadas de funciones elementales

f\left(x\right) = a f'\left(x\right) = 0
f\left(x\right) = x f'\left(x\right) = 1
f\left(x\right) = ax f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = ax + b f'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = x^n f'\left(x\right) = nx^{n-1}
f\left(x\right) = \sqrt{x} f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f\left(x\right) = e^x f'\left(x\right) = e^x
f\left(x\right) = \ln(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x}
f\left(x\right) = a^x (a >0) f'\left(x\right) = a^x \ln(a)
f\left(x\right) = \log_{b}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{x\ln(b)}
f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n} f'\left(x\right) = -nx^{-n-1} = -nx^{-(n+1)} = \frac{-n}{x^{n+1}}
f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x) f'\left(x\right) = \cos(x)
f\left(x\right) = \cos(x) f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)
f\left(x\right) = \tan(x) f'\left(x\right)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
f\left(x\right) = \csc(x) f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)
f\left(x\right) = \sec(x) f'\left(x\right) = \sec(x)\tan(x)
f\left(x\right) = \cot(x) f'\left(x\right) = -\csc^2(x)
f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arccos(x) f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arctan(x) f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}
f\left(x\right) = g(x) \pm h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)
f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x) f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)} f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}
f\left(x\right) = k \cdot g(x) f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)
f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x)) f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x)

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