Límites y continuidad y derivadas

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Ejercicios resueltos de derivadas, límites y continuidad.

1. (Sydsaeter, prob. 1 de pág. 89 y prob. 9a de pág. 90). Dada la función f(x) = 4x2, deducir razonadamente f ‘(5).

2. Halla, utilizando la definición, la derivada de la función 102017 1642 Lmitesycont1 en el punto x = 2.

Comprueba aplicando las reglas de derivación que tu resultado es correcto. (Sol. 3/25)

3. Aplicando la definición demuestra que la función 102017 1642 Lmitesycont2 no es derivable en x = 2. Da también un razonamiento gráfico.

4. Dada la función 102017 1642 Lmitesycont3

a) ¿Para qué valores del parámetro a es continua? b) ¿Para qué valores de a es derivable?

(Sol. a) 1 o 2; b) 1)

5. Dada la función 102017 1642 Lmitesycont4

  1. ¿Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f (x)?
  2. Determina a y b para que f(x) sea derivable en x = 0.

    (Sol. b = 5; a = 2)

    6. Calcula, simplificando el resultado, la derivada de la función:102017 1642 Lmitesycont5. Sol.102017 1642 Lmitesycont6

    7. Deriva y simplifica:    a) 102017 1642 Lmitesycont7     b) 102017 1642 Lmitesycont8

    Sol. a) 102017 1642 Lmitesycont9;b) 102017 1642 Lmitesycont10

    8. Para las funciones del problema anterior, indica los puntos en los que la derivada vale 0.

    (Sol.
    a) Nunca; b) 1/5

    9. Deriva: a) 102017 1642 Lmitesycont11     b) 102017 1642 Lmitesycont12     c) 102017 1642 Lmitesycont13

    Sol. a) 102017 1642 Lmitesycont14; b) 102017 1642 Lmitesycont15; c) 102017 1642 Lmitesycont16

    10. Deriva: a) 102017 1642 Lmitesycont17    b) 102017 1642 Lmitesycont18    c) 102017 1642 Lmitesycont19    d) 102017 1642 Lmitesycont20

    Sol. a) 102017 1642 Lmitesycont21; b) 102017 1642 Lmitesycont22; c) 102017 1642 Lmitesycont23; d) 102017 1642 Lmitesycont24

    11. Si 102017 1642 Lmitesycont25 y 102017 1642 Lmitesycont26 halla la derivada de las funciones 102017 1642 Lmitesycont27 y 102017 1642 Lmitesycont28, aplicando la regla de la cadena. (Sol. 102017 1642 Lmitesycont29; 102017 1642 Lmitesycont30)

    12. (Sydsaeter, prob. 15 de pág. 122). Si R = Sa, S = 1 + bKg y K = Atp + B, hallar dR/dt.

    13. Halla la ecuación de la recta tangente a 102017 1642 Lmitesycont31 en el punto x = 1. Representa gráficamente la curva y la tangente. (Sol. 102017 1642 Lmitesycont32)

    14. Halla la ecuación de la recta tangente a 102017 1642 Lmitesycont33 en el punto de abscisa x = 4. (S.102017 1642 Lmitesycont34)

    15. Halla los puntos de la curva 102017 1642 Lmitesycont35 en los que su tangente tiene pendiente 1. Halla la ecuación de esas tangentes. (Sol. y = x + 2 e y = x 2.)

    16. Comprueba que, en el punto x = 1, la función 102017 1642 Lmitesycont36 puede aproximarse por la recta 102017 1642 Lmitesycont37. Utiliza ese resultado para hallar la raíz cuadrada de 1,1. (Sol. 102017 1642 Lmitesycont38)

    17. (Sydsaeter, prob. 5a y 5e de pág. 131).Probar que (1 + x)m
    » 1 + mx, para x próximo a 0, y usar lo anterior para hallar aproximaciones de los números siguientes:

    a) 1,11/3 = (1+ 1/10)1/3    b) 102017 1642 Lmitesycont39

    18. Calcula la diferencial de la función tag x en el punto 102017 1642 Lmitesycont40 para Dx = dx = 0,01. (Sol. 0,02.)

    19. (Sydsaeter, prob. 7 de pág. 131) El radio de una esfera aumenta de 2 a 2,03. Estimar el aumento de volumen usando una aproximación lineal. Comparar con el aumento real del volumen.

    20. (J/94). La derivada de orden n de 102017 1642 Lmitesycont41 es:

    (a) 102017 1642 Lmitesycont42        (b) 102017 1642 Lmitesycont43        (c) 102017 1642 Lmitesycont44

    21. Halla la derivada n-ésima de 102017 1642 Lmitesycont45. (Sol.102017 1642 Lmitesycont46

    22. (S/98). La función 102017 1642 Lmitesycont47, en el punto x = 0 es:

  3. Derivable pero no continua. b) Continua pero no derivable. c) Continua y derivable.

    23. Dada la función: 102017 1642 Lmitesycont48

    ¿Existen valores de a para los cuales f sea derivable en toda la recta real? (Sol. para todo a.)

    24. (F04). La función 102017 1642 Lmitesycont49 es derivable en x = 2 si:

  • b = –2a     b) Sólo si a = 2 y b = 4    c) Ninguna de las anteriores.

25- (S–99)
La derivada de la función 102017 1642 Lmitesycont50 se anula en al menos un punto del intervalo

a) (1, 5)        b) [5, 10]        c) Ninguna de las anteriores.

26. (F02) Dada 102017 1642 Lmitesycont51, los valores de f ´(1) y f ´´(1) son, respectivamente:

a) 1 y 14         b) 1 y 4              c) 1 y 21/4

27. (F02) La ecuación de la recta tangente a la curva 102017 1642 Lmitesycont52 en el punto de abscisa x = 1 es:

a) 102017 1642 Lmitesycont53         b) 102017 1642 Lmitesycont54        c) y = 2x

28. Deriva: a) 102017 1642 Lmitesycont55     b) 102017 1642 Lmitesycont56     c) 102017 1642 Lmitesycont57     d) 102017 1642 Lmitesycont58 e) 102017 1642 Lmitesycont59

Sol.
a) 102017 1642 Lmitesycont60;    b) 102017 1642 Lmitesycont61; c) 102017 1642 Lmitesycont62; d) 102017 1642 Lmitesycont63e) 102017 1642 Lmitesycont64

29. Deriva: a) 102017 1642 Lmitesycont65 b) 102017 1642 Lmitesycont66     c) 102017 1642 Lmitesycont67     d) 102017 1642 Lmitesycont68     e) 102017 1642 Lmitesycont69     f) 102017 1642 Lmitesycont70

Sol.
a) 102017 1642 Lmitesycont71; b) 102017 1642 Lmitesycont72; c) 102017 1642 Lmitesycont73; d) 102017 1642 Lmitesycont74; e) 102017 1642 Lmitesycont75; f) 102017 1642 Lmitesycont76

Otros ejercicios             (Sacados de 1º Bachillerato, McGrawHill; 2007)

30. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) 102017 1642 Lmitesycont77     b) 102017 1642 Lmitesycont78     c) 102017 1642 Lmitesycont79

d) 102017 1642 Lmitesycont80         e) 102017 1642 Lmitesycont81

Solución:

a) 102017 1642 Lmitesycont82;     b) 102017 1642 Lmitesycont83;

c) 102017 1642 Lmitesycont84;     d) 102017 1642 Lmitesycont85;         e) 102017 1642 Lmitesycont86

31. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a) 102017 1642 Lmitesycont87    b) 102017 1642 Lmitesycont88    c) 102017 1642 Lmitesycont89     d) 102017 1642 Lmitesycont90

Solución:

a) 102017 1642 Lmitesycont91;         b) 102017 1642 Lmitesycont92;        c) 102017 1642 Lmitesycont93;     d) 102017 1642 Lmitesycont94

32. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont95; b) 102017 1642 Lmitesycont96; c) 102017 1642 Lmitesycont97; d) 102017 1642 Lmitesycont98; e) 102017 1642 Lmitesycont99

Solución:

a) 102017 1642 Lmitesycont100; b) 102017 1642 Lmitesycont101; c) 102017 1642 Lmitesycont102; d) 102017 1642 Lmitesycont103;

e) 102017 1642 Lmitesycont104;

33. Deriva y simplifica cuando sea posible:

a) 102017 1642 Lmitesycont105     b) 102017 1642 Lmitesycont106     c) 102017 1642 Lmitesycont107     d) 102017 1642 Lmitesycont108     e) 102017 1642 Lmitesycont109

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont110; b) 102017 1642 Lmitesycont111; c) 102017 1642 Lmitesycont112; d) 102017 1642 Lmitesycont113; e) 102017 1642 Lmitesycont114

34. Deriva y simplifica:

a) 102017 1642 Lmitesycont115     b) 102017 1642 Lmitesycont116     c) 102017 1642 Lmitesycont117     d) 102017 1642 Lmitesycont118

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont119; b) 102017 1642 Lmitesycont120; c) 102017 1642 Lmitesycont121; d) 102017 1642 Lmitesycont122

35. Deriva y simplifica:

a) 102017 1642 Lmitesycont123     b)102017 1642 Lmitesycont124     c) 102017 1642 Lmitesycont125

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont126 ; b) 102017 1642 Lmitesycont127; c) 102017 1642 Lmitesycont128; e)

36. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont129     b) 102017 1642 Lmitesycont130     c) 102017 1642 Lmitesycont131     d) 102017 1642 Lmitesycont132 e) 102017 1642 Lmitesycont133

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont134;    b) 102017 1642 Lmitesycont135; c) 102017 1642 Lmitesycont136; d) 102017 1642 Lmitesycont137

e) 102017 1642 Lmitesycont138

37. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont139     b) 102017 1642 Lmitesycont140     c) 102017 1642 Lmitesycont141         d) 102017 1642 Lmitesycont142     e) 102017 1642 Lmitesycont143     f) 102017 1642 Lmitesycont144

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont145; b) 102017 1642 Lmitesycont146; c) 102017 1642 Lmitesycont147; d) 102017 1642 Lmitesycont148

e) 102017 1642 Lmitesycont149; f) 102017 1642 Lmitesycont150

38. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a) 102017 1642 Lmitesycont151    b) 102017 1642 Lmitesycont152    c) 102017 1642 Lmitesycont153     d) 102017 1642 Lmitesycont154

e) 102017 1642 Lmitesycont155     f) 102017 1642 Lmitesycont156     g) 102017 1642 Lmitesycont157     h) 102017 1642 Lmitesycont158

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont159; b) 102017 1642 Lmitesycont160; c) 102017 1642 Lmitesycont161; d) 102017 1642 Lmitesycont162; e) 102017 1642 Lmitesycont163;

f) 102017 1642 Lmitesycont164 ; g) 102017 1642 Lmitesycont165; h) 102017 1642 Lmitesycont166

39. Deriva y simplifica (piensa si puedes utilizar las propiedades de los logaritmos):

a) 102017 1642 Lmitesycont167     b) 102017 1642 Lmitesycont168     c) 102017 1642 Lmitesycont169

d) 102017 1642 Lmitesycont170     e) 102017 1642 Lmitesycont171

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont172; b) 102017 1642 Lmitesycont173; c) Idem; d) 102017 1642 Lmitesycont174; e) y´=102017 1642 Lmitesycont175

40. a) 102017 1642 Lmitesycont176     b) 102017 1642 Lmitesycont177     c) 102017 1642 Lmitesycont178     d) 102017 1642 Lmitesycont179

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont180; b) 102017 1642 Lmitesycont181; c) 102017 1642 Lmitesycont182; d) 102017 1642 Lmitesycont183

41. a) 102017 1642 Lmitesycont184     b) 102017 1642 Lmitesycont185     c) 102017 1642 Lmitesycont186

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont187; b) 102017 1642 Lmitesycont188; c) 102017 1642 Lmitesycont189

42. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont190        b) 102017 1642 Lmitesycont191    c) 102017 1642 Lmitesycont192    d) 102017 1642 Lmitesycont193

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont194; b) 102017 1642 Lmitesycont195; c) 102017 1642 Lmitesycont196;

d) 102017 1642 Lmitesycont197

43. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont198    b) 102017 1642 Lmitesycont199    c) 102017 1642 Lmitesycont200    d) 102017 1642 Lmitesycont201

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont202; b) 102017 1642 Lmitesycont203;

c) 102017 1642 Lmitesycont204; d) 102017 1642 Lmitesycont205

44. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont206         b) 102017 1642 Lmitesycont207        c) 102017 1642 Lmitesycont208

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont209; b) 102017 1642 Lmitesycont210; c) 102017 1642 Lmitesycont211

45. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont212         b) 102017 1642 Lmitesycont213        c) 102017 1642 Lmitesycont214

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont215; b) 102017 1642 Lmitesycont216; c) 102017 1642 Lmitesycont217

46. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont218         b) 102017 1642 Lmitesycont219     c) 102017 1642 Lmitesycont220     d) 102017 1642 Lmitesycont221

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont222; b) 102017 1642 Lmitesycont223; c) 102017 1642 Lmitesycont224; d) 102017 1642 Lmitesycont225

47. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont226     b) 102017 1642 Lmitesycont227     c) 102017 1642 Lmitesycont228

d) 102017 1642 Lmitesycont229         e) 102017 1642 Lmitesycont230

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont231; b) 102017 1642 Lmitesycont232; c) 102017 1642 Lmitesycont233

d) 102017 1642 Lmitesycont234; e) Idem.

48. Deriva:

a) 102017 1642 Lmitesycont235         b) 102017 1642 Lmitesycont236         c) 102017 1642 Lmitesycont237

d) 102017 1642 Lmitesycont238         e) 102017 1642 Lmitesycont239     f) 102017 1642 Lmitesycont240

[sol] a) 102017 1642 Lmitesycont241; b) 102017 1642 Lmitesycont242; c) 102017 1642 Lmitesycont243

d) 102017 1642 Lmitesycont244; e) 102017 1642 Lmitesycont245; f) 102017 1642 Lmitesycont246

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