Derivadas parciales

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Las derivadas parciales son un tipo de derivadas que se utilizan cuando trabajamos con funciones de varias variables (por ejemplo,

f(x,y)f(x, y)).

¿Qué son?

Cuando tienes una función con más de una variable, puedes derivarla con respecto a una sola variable, tratando las demás como constantes. Esa es una derivada parcial.

Por ejemplo, si tienes la función:

 

f(x,y)=x2y+3xy2f(x, y) = x^2y + 3xy^2

Las derivadas parciales serían:

  • Respecto a

    xx (denotada como

    fx\frac{\partial f}{\partial x}):

 

fx=2xy+3y2\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2

  • Respecto a

    yy (denotada como

    fy\frac{\partial f}{\partial y}):

 

fy=x2+6xy\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy

✍️ Notación común

  • fx\frac{\partial f}{\partial x}: derivada parcial de

    ff respecto a

    xx

  • xf\partial_x f: otra forma abreviada

  • fxf_x: también usada a menudo

¿Para qué sirven?

Las derivadas parciales son súper importantes en:

  • Optimización multivariable

  • Física (ej. en ecuaciones de calor, ondas, etc.)

  • Machine learning (gradientes, funciones de costo)

  • Economía (tasas de cambio parciales en modelos con múltiples variables)

¿Te gustaría que te explique cómo calcularlas paso a paso? ¿O tienes un ejemplo específico que quieres resolver?

 

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Vamos con un ejemplo paso a paso para que te quede bien claro

Ejemplo:

Sea la función:

 

f(x,y)=x2y+3xy2+yf(x, y) = x^2y + 3xy^2 + y

Vamos a calcular las derivadas parciales con respecto a

xx y a

yy.


✅ Paso 1: Derivada parcial respecto a xx

 

 

fx=derivamos tratando y como constante\frac{\partial f}{\partial x} = \text{derivamos tratando \(y\) como constante}

  • x2y2xyx^2y \rightarrow 2xy

  • 3xy23y23xy^2 \rightarrow 3y^2 (porque

    y2y^2 es constante y derivamos

    xx)

  • y0y \rightarrow 0 (porque no tiene

    xx, entonces se trata como constante)

Entonces:

 

fx=2xy+3y2\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2


✅ Paso 2: Derivada parcial respecto a yy

 

 

fy=derivamos tratando x como constante\frac{\partial f}{\partial y} = \text{derivamos tratando \(x\) como constante}

  • x2yx2x^2y \rightarrow x^2

  • 3xy26xy3xy^2 \rightarrow 6xy

  • y1y \rightarrow 1

Entonces:

 

fy=x2+6xy+1\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 1


Resultado final:

  • fx=2xy+3y2\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2

  • fy=x2+6xy+1\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 1