Derivadas parciales

Las derivadas parciales son un tipo de derivadas que se utilizan cuando trabajamos con funciones de varias variables (por ejemplo,

$f(x, y)$f(x,y)).

¿Qué son?

Cuando tienes una función con más de una variable, puedes derivarla con respecto a una sola variable, tratando las demás como constantes. Esa es una derivada parcial.

Por ejemplo, si tienes la función:

$$f(x, y) = x^2y + 3xy^2$$f(x,y)=x2y+3xy2

Las derivadas parciales serían:

• Respecto a

  $x$x (denotada como

  $\frac{\partial f}{\partial x}$∂x∂f​):

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$$∂x∂f​=2xy+3y2

• Respecto a

  $y$y (denotada como

  $\frac{\partial f}{\partial y}$∂y∂f​):

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy$$∂y∂f​=x2+6xy

✍️ Notación común

• $\frac{\partial f}{\partial x}$∂x∂f​: derivada parcial de

  $f$f respecto a

  $x$x

• $\partial_x f$∂x​f: otra forma abreviada

• $f_x$fx​: también usada a menudo

¿Para qué sirven?

Las derivadas parciales son súper importantes en:

• Optimización multivariable

• Física (ej. en ecuaciones de calor, ondas, etc.)

• Machine learning (gradientes, funciones de costo)

• Economía (tasas de cambio parciales en modelos con múltiples variables)

¿Te gustaría que te explique cómo calcularlas paso a paso? ¿O tienes un ejemplo específico que quieres resolver?

Ejemplo:

Sea la función:

$$f(x, y) = x^2y + 3xy^2 + y$$f(x,y)=x2y+3xy2+y

Vamos a calcular las derivadas parciales con respecto a

$x$x y a

$y$y.

✅ Paso 1: Derivada parcial respecto a $x$

$x$

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \text{derivamos tratando \(y\) como constante}$$∂x∂f​=derivamos tratando y como constante

• $x^2y \rightarrow 2xy$x2y→2xy

• $3xy^2 \rightarrow 3y^2$3xy2→3y2 (porque

  $y^2$y2 es constante y derivamos

  $x$x)

• $y \rightarrow 0$y→0 (porque no tiene

  $x$x, entonces se trata como constante)

Entonces:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$$∂x∂f​=2xy+3y2

✅ Paso 2: Derivada parcial respecto a $y$

$y$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \text{derivamos tratando \(x\) como constante}$$∂y∂f​=derivamos tratando x como constante

• $x^2y \rightarrow x^2$x2y→x2

• $3xy^2 \rightarrow 6xy$3xy2→6xy

• $y \rightarrow 1$y→1

Entonces:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 1$$∂y∂f​=x2+6xy+1

Resultado final:

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$∂x∂f​=2xy+3y2

• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 1$∂y∂f​=x2+6xy+1