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La regla de la cadena en derivadas se usa cuando tienes una función compuesta, es decir, una función dentro de otra.
ÍNDICE
Idea básica
Si una función se puede escribir como
f(x) = g(h(x))
Entonces su derivada es:
f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
Explicación sencilla
Derivas la función de afuera respetando la de adentro, y luego multiplicas por la derivada de la función de adentro.
Ejemplo 1
f(x) = (3x + 2)²
- Función externa: u²
- Función interna: u = 3x + 2
Derivada:
f'(x) = 2(3x + 2) · 3 = 6(3x + 2)
Ejemplo 2
f(x) = sen(5x)
- Externa: sen(u)
- Interna: u = 5x
Derivada:
f'(x) = cos(5x) · 5
Ejemplo 3
f(x) = e^(2x²)
- Externa: e^u
- Interna: u = 2x²
Derivada:
f'(x) = e^(2x²) · 4x
Aquí tienes ejercicios de la regla de la cadena para practicar, ordenados de fácil a más difícil. Intenta hacerlos antes de mirar las soluciones.
Nivel 1 (básico)
- f(x) = (2x + 1)³
- f(x) = (5x − 4)⁴
- f(x) = √(3x + 2)
- f(x) = sen(4x)
- f(x) = cos(7x)
Nivel 2 (intermedio)
- f(x) = (x² + 1)⁵
- f(x) = e^(3x + 1)
- f(x) = ln(2x + 5)
- f(x) = (4x² − 3x)⁶
- f(x) = sen(x²)
Nivel 3 (más avanzado)
- f(x) = e^(x² + 3x)
- f(x) = (3x² + 2x + 1)⁴
- f(x) = ln(x² + 1)
- f(x) = cos(5x²)
- f(x) = (sen(2x))³
Soluciones
Nivel 1
- f'(x) = 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)²
- f'(x) = 4(5x − 4)³ · 5 = 20(5x − 4)³
- f'(x) = (1 / (2√(3x + 2))) · 3 = 3 / (2√(3x + 2))
- f'(x) = cos(4x) · 4
- f'(x) = −sen(7x) · 7
Nivel 2
- f'(x) = 5(x² + 1)⁴ · 2x
- f'(x) = e^(3x + 1) · 3
- f'(x) = 1/(2x + 5) · 2 = 2/(2x + 5)
- f'(x) = 6(4x² − 3x)⁵ · (8x − 3)
- f'(x) = cos(x²) · 2x
Nivel 3
- f'(x) = e^(x² + 3x) · (2x + 3)
- f'(x) = 4(3x² + 2x + 1)³ · (6x + 2)
- f'(x) = (1/(x² + 1)) · 2x
- f'(x) = −sen(5x²) · 10x
- f'(x) = 3(sen(2x))² · cos(2x) · 2